Kalkulus dan Cara Memahaminya

Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang difokuskan pada rangkaian limit, fungsi, turunan, integral, dan tak terhingga. Subyek ini merupakan salah satu bagian utama dalam matematika, dan menjadi dasar dari banyak sekali persamaan yang menjabarkan dunia fisika dan mekanika. Anda mungkin butuh kelas tingkat universitas untuk memahami kalkulus dengan baik, namun artikel ini bisa dijadikan titik awal dan cukup membantu membuat Anda awas terhadap pentingnya konsep serta wawasan/pemahaman teknis seputar kalkulus.

Berikut adalah beberapa cara memahami kalkulus:

Metode 1 : Mengkaji dasar-dasar Kalkulus

Ketahuilah bahwa kalkulus adalah studi tentang bagaimana segala hal berubah. Kalkulus merupakan cabang ilmu matematika yang memperhatikan angka dan garis, biasanya dari sudut pandang realita, kemudian memetakan bagaimana kedua hal itu berubah. Meski awalnya tidak tampak berguna, kalkulus adalah salah satu cabang ilmu matematika yang paling banyak digunakan di dunia. Bayangkan bahwa dengan ini Anda memiliki alat untuk memeriksa seberapa cepat bisnis Anda berkembang setiap kalinya, atau merencanakan skema jalur sebuah pesawat luar angkasa dan berapa cepat pesawat itu mengonsumsi bahan bakar. Kalkulus adalah alat yang penting di dunia insinyur atau rekayasa teknik, ekonomi, statistik, kimia, dan fisika, dan telah membantu menciptakan banyak rekacipta dan penemuan nyata.

Ingatlah bahwa fungsi dalam matematika adalah hubungan antara dua angka, dan digunakan untuk memetakan berbagai hubungan di dunia nyata. Fungsi merupakan aturan tentang bagaimana sejatinya angka saling berkaitan, dan para ahli matematika menggunakan hal ini untuk membuat grafik. Dalam sebuah fungsi matematika, setiap input memiliki 1 output. Sebagai contoh, dalam rumus y = 2x +4, setiap nilai “x” akan memberi nilai baru pada “y”. Jika x =2, maka y=8, jika x=10, maka y = 24.^[1] Semua perhitungan kalkulus mempelajari fungsi untuk melihat bagaimana mereka berubah, menggunakan fungsi untuk memetakan berbagai hubungan di dunia nyata.

Fungsi seringkali ditulis sebagai f(x) = x + 3. Ini berarti bahwa pada fungsi f(x), selalu ditambahkan angka 3 untuk “x”. Jika Anda ingin memasukkan 2, tulislah f(2) = 2 + 3, atau f(2) = 5.
Fungsi juga dapat memetakan pergerakan kompleks NASA, misalnya, memiliki fungsi yang memetakan seberapa cepat sebuah roket bergerak berdasarkan berapa banyak bahan bakar yang dibakarnya, tahanan angin, serta bobot pesawat.

Pikirkan tentang konsep tak terhingga. Kondisi tak terhingga adalah ketika Anda mengulang sebuah proses berkali-kali. Tak terhingga bukanlah sebuah tempat spesifik (Anda tidak bisa pergi ke/atau mencapai “tak terhingga”). Ini lebih mengacu ke perilaku sebuah angka atau persamaan yang dilakukan berulang kali, selamanya. Konsep ini jelas penting untuk mempelajari perubahan: Anda mungkin ingin tahu seberapa cepat mobil Anda bergerak setiap kalinya, namun apakah itu juga berarti sama dengan cepatnya pergerakan yang terjadi di detik ini? Di milidetik ini? Di nanodetik ini? Anda dapat menemukan jumlah yang semakin kecil sampai tak terhingga, kalau ingin dapat angka persisnya, dan itulah gunanya kalkulus.

Memahami konsep limit. Limit menyatakan apa yang terjadi saat sesuatu mendekati ketidakterhinggaan. Misalnya, coba ambil angka 1 lalu dibagi 2. Lalu terus bagi hasilnya dengan 2 lagi, dan lagi. Maka, 1 akan menjadi 1/2, lalu 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, dan seterusnya. Setiap kali angka hasilnya akan menjadi semakin kecil dan kecil, “mendekati” nol. Namun sampai mana ujungnya? Berapa kali Anda harus membagi 1 dengan 2 untuk mendapat nol? Dalam kalkulus, ketimbang menjawab pertanyaan ini, Anda sendirilah yang menetapkan batas atau "limit"-nya. Dalam hal ini, limit = 0.

Limit akan jauh lebih mudah dilihat dalam bentuk grafik–berupa titik-titik yang hampir disentuh oleh sebuah grafik, misalnya, namun tak pernah tersentuh.
Limit dapat berupa angka, ketiadaan, atau bahkan ketidakterhinggaan. Misalnya, jika Anda tambahkan 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... selamanya, maka angka akhir Anda akan amat sangat sangat besar tanpa batas. Dan limit itu adalah ketidakterhinggaan.

Kajilah konsep-konsep matematika penting dari aljabar, trigonometri, dan pra-kalkulus. Kalkulus dibangun dari banyak format matematika yang telah Anda pelajari selama ini. Dengan mengetahui subyek-subyek ini secara keseluruhan, akan mempermudah mempelajari dan memahami kalkulus. Beberapa topik untuk menyegarkan ingatan meliputi:

Aljabar. Memahami berbagai proses berbeda dan mampu menuntaskan persamaan serta sistem persamaan untuk beragam variabel. Memahami konsep-konsep dasar rangkaian. Tahu bagaimana membuat grafik dari persamaan.
Geometry. Geometri adalah ilmu yang mempelajari bentuk. Dengan ilmu ini Anda akan memahami konsep-konsep dasar segitiga, persegi empat, dan lingkaran, serta bagaimana mengkalkulasikan hal-hal seperti area dan perimeter. Juga tentang sudut, garis, dan sistem koordinat.
Trigonometri. Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang berkenaan dengan properti lingkaran dan segitiga siku-siku. Dengan ilmu ini Anda dapat mengetahui bagaimana menggunakan identitas trigonometri, grafik, fungsi, dan fungsi-fungsi trigonometri terbalik.

Belilah kalkulator grafik. Kalkulus sangat sulit dipahami tanpa melihat apa yang dikerjakan. Kalkulator grafik membuat perhitungan fungsi menjadi bentukan visual, agar Anda dapat lebih mampu memahami pekerjaan yang dilakukan. Kadang Anda dapat melihat limit ditampilkan di layar, lengkap dengan perhitungan turunan serta fungsi secara otomatis.

Banyak ponsel pintar dan tablet yang ada sekarang kini menawarkan aplikasi kalkulator grafik yang murah namun efektif, jika Anda tidak ingin membeli kalkulator sebenarnya.

Metode 2: Memahami Turunan

Kalkulus digunakan untuk mempelajari “perubahan instan”. Mengetahui kenapa sesuatu berubah persis saat kejadian merupakan jantung ilmu kalkulus. Sebagai contoh, kalkulus tidak hanya memberitahu kecepatan sebuah mobil tetapi juga seberapa banyak kecepatan itu berubah setiap kalinya. Ini penggunaan kalkulus yang paling sederhana, namun amat sangat penting–bayangkan betapa bergunanya pengetahuan ini saat mengukur kecepatan pesawat ruang angkasa yang berusaha mencapai bulan! ^[2]

Menemukan perubahan secara instan disebut "diferensial". Diferensial dalam kalkulus merupakan salah satu dari dua cabang utama kalkulus.

Gunakan perhitungan turunan untuk memahami bagaimana sesuatu berubah secara instan. Perhitungan “turunan” terdengar manis namun berkesan ribet. Meski demikian, konsepnya sendiri, sebenarnya tidak begitu sulit dipahami–pada pokoknya bermakna "seberapa cepat sesuatu berubah". Turunan yang paling umum dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah yang berkaitan dengan kecepatan. Namun Anda pasti tidak akan menyebutnya sebagai “turunan kecepatan”, namun “akselerasi" atau percepatan.

Akselerasi adalah sebuah perhitungan turunan. Perhitungan ini memberitahu Anda seberapa cepat sesuatu melaju atau melambat, atau bagaimana kecepatan berubah.

Ketahuilah bahwa laju perubahan berwujud lerengan di antara dua titik. Inilah salah satu temuan utama kalkulus. Laju perubahan di antara dua titik sama dengan lerengan garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Bayangkan saja sebuah garis sederhana, misalnya dalam persamaan y=3x. Lerengan garis itu = 3, berarti untuk setiap nilai baru pada x, y akan dirubah oleh faktor 3. Lerengan = laju perubahan: maka lerengan bernilai tiga mengandung arti bahwa garis dimaksud berubah oleh faktor 3 untuk setiap perubahan pada x. Saat x = 2, y = 6; ketika x = 3, y = 9.

Lerengan sebuah garis merupakan "perubahan pada y, yang dibagi oleh perubahan pada x."
Makin besar lerengan, makin curam garisnya. Garis yang curam dapat berubah sangat cepat.
Kajilah bagaimana menemukan lerengan sebuah garis jika ingatan Anda kabur.

Ketahuilah bahwa Anda dapat menemukan nilai lerengan garis-garis kurva. Menemukan nilai lerengan sebuah garis lurus, caranya relatif mudah: berapa banyak nilai y berubah untuk setiap nilai x? Namun, persamaan kompleks yang melibatkan kurva, seperti pada y = x² jauh lebih sulit dihitung. Meski demikian, Anda tetap dapat menemukan laju perubahan antara dua titik mana pun–gambar saja sebuah garis di antara kedua titik tersebut dan hitung nilai lerengannya untuk mendapatkan laju perubahan.

Sebagai contoh, dalam y = x², Anda dapat menunjuk dua titik yang mana saja dan mendapatkan nilai lerengannya. Misalnya pada titik (1,1) dan (2,4). Lerengan di antara kedua titik sama dengan (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Ini berarti laju perubahan antara x = 1 dan x = 2 adalah 2.

Buatlah kedua titik Anda lebih dekat agar pembacaan laju perubahannya lebih akurat. Makin dekat dua titik yang diukur, makin besar peluang mendapatkan jawaban akurat. Misalnya, Anda ingin tahu seberapa cepat laju mobil, persis saat pedal diinjak. Anda tidak ingin mengukur perubahan kecepatan mobil yang terjadi dari rumah ke toko, yang ingin diukur adalah perubahan kecepatan yang terjadi begitu menginjak pedal gas. Makin dekat perhitungan Anda ke detik menginjak gas, makin akurat pula pembacaan Anda.

Sebagai contoh, para ilmuwan mempelajari berapa cepat sejumlah spesies yang akan punah, agar mampu menyelamatkan mereka. Sayangnya, lebih banyak binatang yang kerap mati di musim dingin ketimbang musim panas. Jadi, mempelajari laju perubahan yang terjadi sepanjang tahun tidak banyak berguna. Akan lebih akurat mengukur laju perubahan di antara dua titik yang berdekatan, misalnya dari tanggal 1 Juli sampai dengan 1 Agustus.

Gunakan garis-garis kecil yang tak terbatas untuk menemukan “laju perubahan instan”, atau nilai turunannya. Di titik inilah kalkulus kemudian sering jadi membingungkan, namun sebenarnya ini akibat dua fakta sederhana. Pertama, Anda tahu bahwa lerengan atau kemiringan sebuah garis sama dengan seberapa cepat ia berubah. Kedua, Anda tahu bahwa makin dekat dua titik dalam garis yang dihitung, makin akurat pula pembacaannya. Namun bagaimana caranya menemukan laju perubahan di satu titik jika lerengan ditentukan sebagai hubungan antara kedua titik? Jawaban kalkulus: “Pilih dua titik yang paling berdekatan”.

Pikirkan contoh di mana Anda terus membagi angka 1 dengan 2 terus-menerus, lalu mendapat hasil 1/2, 1/4, 1/8, dan seterusnya. Pada akhirnya Anda akan mendapat hasil yang begitu dekat ke nol sampai “bisa dibilang nol”. Di sini, kedua titik Anda berada begitu dekat sampai “bisa dibilang instan”. Inilah sifat asli perhitungan turunan.

Pelajari bagaimana mengambil hasil perhitungan turunan. Ada banyak teknik yang dapat digunakan untuk mendapatkan hasil perhitungan turunan, tergantung persamaan yang dihadapi, namun umumnya cukup mudah dipahami jika Anda ingat prinsip dasar perhitungan turunan yang telah dijelaskan di atas. Semua perhitungan turunan sejatinya adalah cara menemukan nilai lerengan atau kemiringan garis Anda yang "tak terhingga kecilnya". Kini setelah memahami teori perhitungan turunan, sebagian besar tugas yang dilakukan adalah menemukan jawabannya.

Temukan persamaan turunan untuk memprediksi laju perubahan di setiap titik. Menggunakan turunan untuk menemukan laju perubahan di satu titik memang berguna, namun hebatnya kalkulus terletak pada kemampuannya memungkinkan Anda mencipta sebuah model baru untuk setiap fungsi. Turunan dari y = x², sebagai contoh, adalah Y^l = 2x. Ini berarti Anda dapat menemukan turunan untuk setiap titik yang ada dalam grafik y = x² hanya dengan memasukkannya ke dalam persamaan turunan. Pada titik (2, 4), di mana x = 2 dan y = 4, nilai turunan adalah 4, karena Y^l = 2*(2).

Turunan biasanya ditandai dengan superscript – turunan dari persamaan Y seringkali ditulis sebagai Y^l, misalnya.

Ingatlah pada contoh nyata turunan, jika Anda masih sulit memahami. Contoh yang paling mudah didasarkan pada kecepatan, yang menawarkan bermacam turunan berbeda yang kita lihat setiap hari. Ingatlah, bahwa "turunan merupakan pengukuran seberapa cepat sesuatu berubah". Bayangkan eksperimen sederhana menggulirkan kelereng di atas meja, lantas dihitung seberapa jauh dan cepat pergerakannya setiap kali. Sekarang, coba bayangkan kelereng yang bergulir itu melaju sepanjang garis dalam sebuah grafik. Gunakan perhitungan turunan untuk mengukur perubahan instan yang terjadi di setiap titik dalam garis tersebut.

Seberapa cepat kelereng berpindah lokasi? Berapa laju perubahannya, atau nilai turunan, dari pergerakan kelereng tersebut? Nilai turunan ini kita sebut sebagai “kecepatan”.
Gulirkan sebuah kelereng ke bawah dan lihat berapa cepat kecepatannya meningkat (percepatan). Berapa nilai laju perubahan, atau turunan, dari kecepatan kelereng itu? Nilai turunan ini disebut sebagai “akselerasi”.
Gulirkan kelereng sepanjang turun-naik lintasan seperti roller coaster. Seberapa cepat kelereng itu meningkatkan kecepatannya menuruni lerengan turun dan berapa cepat kehilangan kecepatan saat menanjak? Berapa cepat kelereng itu menanjak, persis separuh di tanjakan pertama? Ini disebut sebagai laju perubahan instan, atau turunan, dari kelerang tersebut di satu titik spesifik.

Metode 3 : Memahami Integral

Ketahuilah bahwa Anda menggunakan kalkulus untuk memecahkan perhitungan rumit terhadap area dan volume. Kalkulus memungkinkan Anda mengukur bentuk-bentuk kompleks yang biasanya terlalu sulit dihitung. Bayangkan, misalnya, Anda mencoba memastikan berapa banyak air yang terdapat dalam sebuah danau panjang berbentuk aneh. Nah, tentunya mustahil mengukur setiap galon air secara terpisah atau memakai penggaris untuk mengukur bentuk danaunya. Kalkulus memungkinkan Anda mempelajari bagaimana pinggiran danau berubah, lalu menggunakan informasi itu untuk mempelajari berapa banyak air yang ada di dalamnya.

Untuk membuat model-model geografis dan mempelajari volume digunakan "integrasi". Integrasi adalah cabang utama kedua dalam kalkulus.

Ketahuilah bahwa integrasi adalah ilmu matematika yang mendapatkan nilai area di bawah sebuah grafik. Integrasi digunakan untuk mengukur ruang di bawah setiap garis, dan memungkinkan Anda menemukan area berisi bentukan-bentukan aneh atau tidak beraturan. Misalnya pada persamaan y=x², yang bentuknya seperti huruf “U” raksasa. Anda mungkin ingin tahu berapa banyak ruang di bawah U ini, dan untuk itu bisa menggunakan perhitungan integrasi. Meski sekilas tampak tak berguna, pikirkan manfaatnya di dunia manufaktur atau pabrikasi–Anda dapat membuat sebuah fungsi yang tampak seperrti bagian baru, lalu menggunakan perhitungan integrasi untuk menemukan area dari bagian tersebut, dan dengan demikian membantu Anda mengatur jumlah tepat dari bahan yang harus digunakan.

Ketahuilah bahwa Anda harus memilih area yang harus diintegrasi. Tidak bisa begitu saja mengintegrasi seluruh fungsi. Sebagai contoh, y = x adalah sebuah garis diagonal yang membentang terus tanpa batas, dan Anda tidak bisa mengintegrasikan seluruhnya, karena tidak akan berakhir. Saat mengintegrasikan fungsi, Anda harus memilih sebuah area, misalnya seluruh titik di antara x=2 dan x=5.

Ingatlah bagaimana menemukan area sebuah bujur sangkar. Bayangkan Anda punya garis rata di atas sebuah grafik, seperti misalnya y = 4. Untuk menemukan area di bawahnya, Anda harus menemukan area bujur sangkar di antara y=0 dan y=4. Ini mudah dihitung, namun tidak akan pernah cocok buat garis kurva yang tidak bisa dibalikkan menjadi bujur sangkar dengan mudah.

Ketahuilah bahwa integrasi menambahkan banyak bujur sangkar kecil untuk menemukan area. Jika Anda zoom atau perbesar sangat dekat ke sebuah kurva, akan tampak rata. Ini terjadi setiap hari–Anda tidak bisa melihat kurva bumi karena kita begitu dekat berada di permukaannya. Integrasi membuat bujur sangkar kecil dalam jumlah tak terhingga di bawah sebuah kurva dalam ukuran begitu kecil sampai bisa disebut rata, dan dengan demikian memungkinkan untuk diukur. Tambahkan semua ini ke area di bawah sebuah kurva.

Bayangkan Anda menggabungkan potongan-potongan kecil ini di bawah grafik, dengan lebar setiap potongan "nyaris" nol.

Ketahuilah bagaimana membaca dan memperbaiki integral dengan benar. Integral hadir dalam 4 bagian. Integral yang umum tampak seperti ini:
∫ f(x) dx
Simbol pertama, ∫, adalah simbol untuk integrasi. Bagian yang kedua, f(x), adalah tempat di mana Anda meletakkan fungsi (2x+2, t², etc.), dan bagian “dx” di akhir menyatakan arah mana yang harus diukur.

Jika integral diikuti oleh “dy” ketimbang “dx”, ini berarti Anda mengukur secara horizontal, ke sumbu y, namun ini biasanya digunakan pada masalah yang lebih kompleks.

Pelajari bagaimana menemukan integral. Integrasi hadir dalam banyak bentuk, dan Anda harus mempelajari banyak formula berbeda untuk mengintegrasikan setiap fungsi. Namun, semuanya mengikuti prinsip-prinsip dasar yang dijelaskan di atas: integrasi menemukan bujur sangkar dalam jumlah tak terbatas untuk dijumlahkan.

Integrasi lewat substitusi.
Mengintegrasikan integral secara tak terbatas.
Mengintegrasi bagian per bagian.

Ketahuilah bahwa intregrasi membalik diferensiasi. Ini aturan baku yang tidak bisa diubah dalam kalkulus, dan telah sukses membawa ke berbagai terobosan ilmiah serta teknologi. Karena integrasi dan diferensiasi begitu erat berkaitan, kombinasi dari keduanya dapat digunakan untuk menemukan laju perubahan, akselerasi, kecepatan, lokasi, pergerakan, dsb, tak peduli informasi apa pun yang Anda miliki.

Sebagai contoh, ingatlah bahwa turunan kecepatan adalah akselerasi, jadi Anda dapat menggunakan kecepatan untuk menentukan akselerasi. Namun jika Anda hanya tahu nilai akselerasi suatu hal (misalnya obyek yang jatuh karena gaya tarik gravitasi), Anda dapat mengintegrasikannya untuk mendapatkan nilai kecepatan! Karena itu, apa pun datanya, Anda dapat menggunakan integrasi/diferensiasi untuk menemukan lebih banyak nilai.

ketahuilah bahwa integrasi juga dapat menemukan nilai volume obyek-obyek padat 3 dimensi. Memutar kencang sebuah benda berbentuk datar merupakan salah satu cara membuat wujud 3D. Bayangkan Anda memutar sebuah koin di atas meja di depan Anda–perhatikan betapa seolah koin itu membentuk sebuah bola saat berputar kencang. Anda dapat menggunakan konsep ini untuk menemukan volume dalam sebuah proses bernama “menemukan nilai volume berdasarkan rotasi”.

Ini memungkinkan Anda menemukan volume semua bentukan padat di dunia ini, selama memiliki fungsi yang merefleksikannya. Sebagai contoh, Anda dapat membuat sebuah fungsi yang melacak dasar danau, lalu menggunakan fungsi tersebut untuk menemukan nilai volume danau, atau berapa banyak air yang ditampungnya.

Pisey's Blog